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Numerische Verfahren für nicht-lokale Operatoren
Bei vielen naturwissenschaftlichen Modellen treten nicht-lokale Effekte auf: Das Gravitationsfeld eines Planeten hat auch in großer Entfernung noch spürbare Auswirkungen, und ein an einem Ort verursachtes Geräusch ist ebenfalls nicht nur an diesem Ort hörbar. Ich beschäftige mich mit der Entwicklung von Algorithmen, die die bei Simulationen auf Grundlage derartiger Modelle auftretenden Interaktionen zwischen sehr vielen Unbekannten besonders effizient handhaben.

Mehrgitterverfahren und iterative Löser
Sehr viele naturwissenschaftliche Phänomene lassen sich mit Hilfe partieller Differentialgleichungen beschreiben. Mit Hilfe von Iterationstechniken, unter denen Mehrgitterverfahren zu den effizientesten zählen, können derartige Gleichungen auf modernen Computern sehr schnell gelöst werden, so dass sich auch sehr komplizierte Phänomene zuverlässig simulieren lassen.

Lehre im aktuellen Semester

Grundlagen der Numerik
Die Vorlesung beschäftigt sich mit den Fragen, die bei der Umsetzung mathematischer Berechnungen auf Computern auftreten: Wie stellt man ein mathematisches Objekt dar? Wann ist eine exakte Darstellung nicht möglich, so dass eine Näherung verwendet werden muss? Wie genau ist die Näherung? Wie berechnet man sie effizient?

Nach einer kurzen Einführung in die Darstellung reeller Zahlen im Computer und in elementare Fehlerrechnung werden

• das Lösen linearer und nichtlinearer Gleichungssysteme,
• die Behandlung von linearen Ausgleichsproblemen,
• die Approximation von Funktionen durch Interpolation,
• die näherungsweise Berechnung von Integralen sowie
• einfache Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

in der Vorlesung behandelt.

Numerik nicht-lokaler Operatoren
Viele Phänomene im naturwissenschaftlichen Bereich sind nichtlokal: Das Gravitationsfeld der Sonne etwa erstreckt sich über das gesamte Universum. Bei der Simulation einer Galaxie entsteht deshalb das Problem, dass die Masse jeder Sonne einen Einfluss auf die Massen aller anderen Sonnen ausüben, dass also sehr viele Interaktionen berechnet werden müssen. Um diese Berechnungen effizient zu gestalten, müssen spezielle Algorithmen eingesetzt werden.

In der Vorlesung werden grundlegende Techniken (vor allem das Paneel-Clusterungsverfahren und hierarchische Matrizen) am Beispiel von Integral- und Differentialoperatoren aus dem Bereich der elliptischen Differentialgleichungen erläutert. Dabei sind vor allem die Effizienz und die Genauigkeit der verwendeten Algorithmen von Interesse.