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Forschungsgebiete

Numerische Verfahren für nicht-lokale Operatoren
Bei vielen naturwissenschaftlichen Modellen treten nicht-lokale Effekte auf: Das Gravitationsfeld eines Planeten hat auch in großer Entfernung noch spürbare Auswirkungen, und ein an einem Ort verursachtes Geräusch ist ebenfalls nicht nur an diesem Ort hörbar. Ich beschäftige mich mit der Entwicklung von Algorithmen, die die bei Simulationen auf Grundlage derartiger Modelle auftretenden Interaktionen zwischen sehr vielen Unbekannten besonders effizient handhaben.

Mehrgitterverfahren und iterative Löser
Sehr viele naturwissenschaftliche Phänomene lassen sich mit Hilfe partieller Differentialgleichungen beschreiben. Mit Hilfe von Iterationstechniken, unter denen Mehrgitterverfahren zu den effizientesten zählen, können derartige Gleichungen auf modernen Computern sehr schnell gelöst werden, so dass sich auch sehr komplizierte Phänomene zuverlässig simulieren lassen.

Lehre im aktuellen Semester

Analysis 3

Die Vorlesung beschäftigt sich mit einer Einführung in die Grundbegriffe der Maß- und Integrationstheorie und einige der fundamentalen Aussagen über Lösbarkeit gewöhnlicher Differentialgleichungen und Eigenschaften komplex differenzierbarer Funktionen. Das erste Kapitel beschreibt die grundlegenden Konzepte der σ-Algebra und des Maßes am Beispiel der Borel-σ-Algebra und des Lebesgue-Maßes. Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der Einführung des maßtheoretischen Integralbegriffs, das dritte führt die wichtigsten Grenzwertsätze für dieses Integral ein, etwa den Satz über die majorisierte Konvergenz, den Satz von Fubini und die Transformationsformel. Das vierte Kapitel führt die Grundlagen der Funktionentheorie ein, insbesondere die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen und die Cauchy-Integralformel. Das fünfte Kapitel behandelt die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen gewöhnlicher Anfangwertprobleme mit Hilfe des klassischen Satzes von Picard-Lindeløf.

Iterative Verfahren für große Gleichungssysteme

Große lineare Gleichungssysteme treten in vielen Bereichen der Mathematik auf, etwa bei der Behandlung partieller Differentialgleichungen im Bereich des Wissenschaftlichen Rechnens. Klassische Lösungsverfahren wie die Gauß-Elimination lassen sich ab einer gewissen Problemdimension wegen ihres hohen Rechenaufwands nicht mehr sinnvoll einsetzen, so dass sich iterative Lösungsverfahren als Alternative anbieten. Diese Verfahren berechnen effizient eine Folge von Näherungslösungen, die gegen die exakte Lösung konvergiert. Die Vorlesung stellt klassische und moderne Iterationsverfahren von der Richardson-Iteration über Jacobi, Gauß-Seidel, SOR, konjugierte Gradienten, GMRES bis hin zu Mehrgitterverfahren vor und stellt grundlegende Aussagen über Rechenaufwand und Konvergenzrate vor.